心を楽しませて、つまらないことにくよくよしなければ、自然と長寿を保つことができると言うことを表す四字熟語です。
【美】は、「たのしい」という意味です。
【意】は、「こころ」の意味です。

『荀子』「致士：チシ。士を招く」篇にでています。

　　得衆動天。
　　衆を得れば天をも動かし、
　　　　　民衆を把握すれば天をも動かし、

　　美意延年。
　　意を美（たのし）ませれば年を延（の）べ、
　　　　　心を楽しませれば長生きし

　　誠信如神。
　　誠信なれば神の如く、
　　　　　誠実であれば神明のようであり

　　夸誕逐魂。
　　夸誕（コタン：おおげさででたらめなこと）なれば魂を逐（うしな）わん。
　　　　　ほら吹きであれば精魂を失う。

くよくよしないで、いつも楽しむ気持ち、を持っているのが元気で長生きできることのようです。

勝海舟が好んだ言葉だそうです。
勝海舟は、頼まれれば好んで【美意延年】と揮毫（キゴウ）したそうです。