他人に頼らず、他人からも束縛されないで、自分の思うままに行動することです。

【独立】にはいくつかの意味があります、角川『新字源』からの引用です
　　　　　①　ひとりで立っている。
　　　　　②　人の力を借りず自分の力で身を立てる。ひとり立ち。
　　　　　③　他人から見放されること。孤立。
　　　　　④　ひとり抜きんでる。
　　　　　⑤　俗世間の外にある事。

【羈：キ】は、网（あみ）＋馬＋革から作られた会意文字です。おもがい（馬の頭部にまといつける綱）を
表す字として作られました。そこから「つなぎとめる」、「束縛する」という意味でも使われます。

中島敦『弟子』に、【独立不羈】がみられます。
『弟子』は、孔子の弟子である子路が、孔子の門弟となってから亡くなるまでの話です。

　　　子路が他の所ではあくまで人の下風に立つを潔しとしない【独立不羈】の男であり、
　　　一諾千金（イチダクセンキン）の快男児であるだけに、碌々（ロクロク）たる凡弟子然
　　　（ボンテイシゼン）として孔子の前に侍（はんべ）っている姿は、人々に確かに奇異な
　　　感じを与えた。

　　　事実、彼には、孔子の前にいる時だけは複雑な思索や重要な判断は一切、師に任せて
　　　しまって自分は安心しきっているような滑稽（コッケイ）な傾向も無いではない。

　　　母親の前では自分に出来る事までも、してもらっている幼児と同じような工合である。
　　　退いて考えてみて、自ら苦笑することがある位だ。