四字熟語と言えるかどうかは別にしまして、4月1日はエイプリルフールで、罪のない嘘をついて良い日とされています。
エイプリルフールは、日本語では直訳で「四月馬鹿」、漢語的表現では「万愚節」または「愚人節」、フランス語では「プワソン・ダヴリル：四月の魚」と呼ばれているそうです。
　
エイプリルフールの起源は不明だそうですが、

1564年にフランスのシャルル9世が、それまでは3月25日を新年としていたのを、突然1月1日を新年とする暦を採用しました。これに反発した人々が4月1日を「嘘の新年」として位置づけ、馬鹿騒ぎをするようになったのがエイプリルフールの始まりとする説があります。

インドでは悟りの修行は春分の日から3月末まで行われていましたが、すぐに迷いが生じることから、4月1日を「揶揄節」と呼んでからかったことによるとする説もあります。

4月1日は、新年度、新学年・新学期の最初の日です。

会計年度の始まりが4月1日なのは、秋の収獲後に行う、税金の徴税の都合だそうです。

新学年の始まりが4月1日なのは、明治19年10月に、高等師範学校が4月1日からと定めたので、明治21年から全国一斉にこれにならうようになったそうです。

【馬鹿】の語源は、いろいろあります。
『これです』、と確定したものがありませんので、どれも出鱈目です。
貴方がナルホドと思うのが正解です。

参考までに、私が好きな【馬鹿：ばか】の語源は、『史記：秦始皇本紀』にあるエピソードです。

　　　宦官（カンガン）の趙高（チョウコウ）が『鹿を指さして、馬である』と言い、
　　　反対した者を処刑しました。

【馬鹿】は漢音「バロク」です。【馬鹿】を「バか」と読むのは重箱読み、日本での読みです。