他から束縛されることなく、自分の思い通りに行動することを言います。【不羈独立】としても使われます。

【独立】には、いくつかの使い分けがあります
　　　① 　ひとりで立っている。　　②　人の力を借りず自分の力で身を立てる。ひとりだち。
　　　③ 　他人から見放されること。　　④　ひとりぬきんでる。　　⑤　俗世間の外にあること。

【羈】は、网＋馬＋革　から作られた会意文字で、馬の頭部におおいかける革の紐、「おもがい」を
　　　表わす字です。おもがい→たづな→つなぐ、と変化しました。
【不羈】は、すなはち「つながれない」、束縛されない、という意味になります。

【独立】、【不羈】、の類義の二語を重ね、他を頼ることなく、自分の判断で行動することを強調した
　　　四字熟語です。

中島敦『弟子』に【独立不羈】、福沢諭吉『学問のすすめ』に【不羈独立】が見られます。

『弟子』第5章
　　子路が他の所ではあくまで人の下風に立つを潔（いさぎよ）しとしない【独立不羈】の男であり、
　　一諾千金の快男児であるだけに、碌々（ロクロク）たる凡弟子然（ボンテイシゼン）として
　　孔子の前に侍（はんべ）っている姿は、人々に確かに奇異（キイ）な感じを与あたえた。

　　事実、彼には、孔子の前にいる時だけは複雑な思索（シサク）や重要な判断は一切
　　師に任せてしまって自分は安心しきっているような滑稽（コッケイ）な傾向も無いではない。

　　母親の前では自分に出来る事までも、してもらっている幼児と同じような工合である。
　　退いて考えてみて、自ら苦笑することがある位だ。

『学問のすすめ』第16篇　　
　　【不羈独立】の語は、近来世間の話にも聞くところなれども、世の中の話には随分間違いも
　　あるものゆえ、銘銘にてよくその趣意を弁（わきま）えざるべからず。

　　独立に二樣の別あり。一は有形なり、一は無形なり。なほ手近くいへば、
　　品物につきての独立と、精神につきての独立と、二樣に区別あるなり。