病気がなく、完全に健康なこと、という意味です。
「十全」は、少しも欠点が無い事。完全なことを言います。
「健康」は、病気にかかっていない元気な状態を言います。

西洋と日本の文明を比較した、福沢諭吉：『文明論之概略』巻一にある言葉です。

　　　今の世界に向（むかい）て文明の極度を促すは、これを譬えば世に【十全健康】の人を求るが如し。

　　　世界の蒼生多しと雖ども、身に一点の所患なく、生れて死に至るまで些少の病にも罹らざる者
　　　あるべきやあるべからず。

　　　病理を以て論ずれば、今世の人は仮令い健康に似たるものあるも、これを帯患健康と
　　　云わざるを得ず。

　　　国も亦猶この人の如し。

　　　仮令い文明と称すと雖ども、必ず許多の欠〔点〕典なかるべからざるなり。

1964(昭和39)年の10月10日、東京オリンピック開会の日でした。
これを記念して、1966～1999年の間は「体育の日」として祝日とされていました。
2000年より祝日法改正に伴い10月第2月曜日が「体育の日」として制定されました。