【飛揚】は、猛禽類が勢いよく飛び上がることを言います。
【跋扈】は、魚を捕る仕掛け（扈）を大きな魚が超える（跋）ということで、規制や拘束などを無視して横暴に振舞うことを言います。

ですから、【飛揚跋扈】は、思いのままにのさばり振る舞う状態を表しています。
また、臣下が権威をほしいままにして君主を凌ぐたとえにも使われます。

【跋扈】を含んだ四字熟語に次のものがあります

【横行跋扈：オウコウバッコ】　　　　　　　　 　のさばって勝手気ままにふるまうこと。
【跳梁跋扈：チョウリョウバッコ】　　　　　　　 悪者などがはびこり、勝手気ままにふるまうこと。
【梁冀跋扈：リョウキバッコ】　　　　　　　　　 梁冀（後漢の大将軍）は朝廷でおごり高ぶったことから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「跋扈将軍」と呼ばれました。