夫婦の仲の睦まじいことの喩です。

「連理の枝」は、根元は別々で並んで生えている二本の木が、枝の部分途中から一つに繋がっているという伝説の樹木のことをいいます。

中唐の詩人・白居易の『長恨歌』の中に、玄宗皇帝と楊貴妃が七夕の夜に愛を誓い合ったことば、

　　天に在りては願わくは比翼の鳥と作り、地に在りては願わくは連理の枝と為らん。

からとられた、四字熟語です。
【比翼の鳥】、【連理の枝】とペアで使われることが多いです。
【長恨歌】は、7言×120句です。115句から120句を記載します。その中に【比翼連理】がでています。

　　115　七月七日長生殿　
　　　　　七月七日　長生殿

　　116　夜半無人私語時
　　　　　夜半人無く　私語の時

　　117　在天願作比翼鳥　
　　　　　天に在りては願はくは比翼の鳥と作（な）り

　　118　在地願為連理枝　
　　　　　地に在りては願はくは連理の枝と為（な）らんと

　　119　天長地久有時尽　
　　　　　天は長く地は久しきも時有りて尽くとも

　　120　此恨綿綿無絶期
　　　　　此（こ）の恨み綿綿として　絶ゆるの期無からん

以前から『長恨歌』の暗誦に挑戦してます。
1句から8句と上記の部分は、暗誦してるんですが、途中はさっぱりです。

なんとも間抜けな状態です。