【年を延べ、寿を転ずる】と訓読みされまして、自分の力または仏の加護によって、この世における寿命を延ばすことを言います。【転】は、「ますます」の意味もあります。
【転】の正字体は【轉】です。【寿】の正字体は【壽】です。
【壽】には昔からの覚え方があります。
「士」の「フ」「エ」の長さは「一」「インチ：吋」
です。

歳をとっても、もっともっと長生きして下さい、という気持ちを込めて長寿を祝う言葉となっています。

元は仏教の言葉で、修行して仏の加護によって、長寿を得ることを言っていたようです。

【延年】という言葉は、長寿を祈願した仏教語でしたが、そのうち寺院でお坊さんたちによって催される芸能の会の意味になりました。

【延年転寿】の類義、四字熟語に次の言葉があります。

　　【延年益寿】　エンネンエキジュ
　　【延命息災】　エンメイソクサイ
　　【息災延命】　ソクサイエンメイ
　　【長命安楽】　チョウメイアンラク