お互いの気持ちが通じ合い、仲良くなることを表わした四字熟語です。中国古典では
【意気投合】と、まとまった形では見つかりませんでした。【意気】、【投合】はありますが。

【意】は、音＋心　から作られた会意文字です。
【気】は、气（音符号）＋米から作られた形声文字です。
【意気】は、
　　①　きだて。きまえ。気性をあらわします。
　　『唐詩選』の巻頭に魏徴（ギチョウ）の詩『述懐（ジュッカイ）』が載ってます。
　　五言×20句の古詩で、その19句、20句のところに次の句が出ています。

　　19　人生意気に感ず　　　　　
　　20　功名（コウミョウ）誰か復（ま）た論ぜん

　　②　意志と勇気をあわせて意気。
　　③　粋（いき）と同じ意味で、あかぬけしていることにも使われます。

　　意気を含んだ四字熟語は、【意気投合】の他に次のようなのが有ります。
　　意気軒昂：イキケンコウ　　　　　　意気込みが盛んで、奮い立つさま
　　意気揚々：イキヨウヨウ　　　　　　得意で威勢のよいさま
　　意気消沈：イキショウチン　　　　　元気を無くして、しょげかえること
　　意気阻喪：イキソソウ　　　　　　　意気込みがくじけ弱り、元気をなくすこと。
　　意気衝天：イキショウテン　　　　　意気込みが盛んなこと

【投】は、扌＋殳　から作られた会意文字です。「なげる」の意味の他に、
　　「ぴったり合う」と言う意味もあります。
【合】は、口の上に蓋をした形を表わした象形文字です。口は神への祈りの文である祝詞を
　　入れる器の形です。器と蓋とが相合うことから【合】が「あう」の意味となりました。
　　同じ「あう」でも、「会う」は人と人が会うことです。
【投合】は、二つのものが相互にピッタリ合う意味です。

【意気投合】の類義四字熟語に
【意気相投：イキソウトウ】、【情意投合：ジョウイトウゴウ】があります。