自分で自分のことを自慢する意味です。日本で作られた四字熟語です。

【手前】の広辞苑での意味は
　　①　自分の目の前。手元。
　　②　その所よりも自分に近い方。　こちら。
　　③　他人や世間に対する体裁。
　　④　自分の手で行なうこと。
　　⑤　茶道で茶をたてたり炉に炭をついだりする所作。
　　⑥　自分が所有するもの、また抱えている者。
　　⑦　腕前。技量。
　　⑧　資力。くらしむき。生計。
があります。随分ありますね。【手前味噌】の【手前】は④に⑦を含めた意味です。
【味噌（朝鮮語からという説があります）】の広辞苑での意味は
　　①　調味料のひとつ。
　　②　特色とする点。得意に思っている箇所。
　　　　　そこが味噌だ。　手前味噌。
　　③　形状がミソに似たもの。カニの殻中にある内臓など。
　　④　他の語につけて、あざけりの意をあらわす。
　　　　　泣き味噌。

二葉亭四迷の『浮雲』第一篇・第二回　風変りな恋の初峯入（はつみねいり）上に【手前味噌】の使用例文があります。

　　紐解（ひもとき）の賀の済（すん）だ頃より、父親の望みで小学校へ通い、母親の好みで清元（きよもと）
　　の稽古、生得（うまれえ）て才潑（さいはじけ）の一徳には生覚（なまおぼ）えながら飲込みも早く、
　　学問、遊芸、両（ふたつ）ながら出来のよいように思われるから、母親は眼も口も一ツにして
　　大驩（おおよろこ）び、尋ねぬ人にまで風聴（ふいちょう）する娘自慢の【手前味噌】、
　　切（しき）りに涎（よだれ）を垂らしていた。

【手前味噌】は自画自賛・自慢といった意味が込められています。
講演会などで自分の業績や企業、を自慢して「手前味噌で恐縮ですが」といって堂々と自慢する時に使われます。